Lineare Unabhängigkeit |F_p³ < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Betrachten sie im [mm] \IF_{p}³ [/mm] die Vektoren [mm] v_1=\vektor{[0] \\ [1] \\ [6]} v_2=\vektor{[3] \\ [2] \\ [3]} v_3=\vektor{[1] \\ [1] \\ [1]} [/mm] Bestimmen sie alle Primzahlen p, sodass ale Vektoren linear unabhängig sind. |
Also.. ich bin mir hierbei über die Vorgehensweise nicht im Klaren.
Lineare Unabhängigkeit besteht ja, wenn jeder einzelne Vektor sich nicht durch Linearkombinationen der anderen beiden darstellen lässt.
Ich habe mir überlegt, dass ich herausfinden könnte, für welche Koeffizienten lineare Abhängigkeit mit K=|R besteht, um dann die entsprechenden Primzahlen ausschließen zu können; wohingegen das dann ja unendlich viele sein müssten. Ich bin da etwas ratlos..
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 31.05.2009 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
probiere mal aus, wie diese drei Vektoren aussehen, wenn du als Primzahl z.B. 2, 3 oder 5 verwendest.
Sind diese drei Vektoren dann linear abhängig?
Was kannst du dann für die Primzahlen größer 5 schließen?
|
|
|
| |
|
Mhja, ich hab mir das notiert und festgestellt, dass die Vektoren für [mm] \IF_{2;3} [/mm] linear abhängig waren, für [mm] \IF_{5} [/mm] allerdings nicht. Mir ist nicht klar, was ich daraus für alle anderen Primzahlen folgern kann. Ich denke mal, dass daraus zu folgern sein müsste, dass für alle Primzahlen >= 5 lineare Unabhängigkeit besteht, ich weiß nur absolut nicht warum.
|
|
|
| |
|
> Mhja, ich hab mir das notiert und festgestellt, dass die
> Vektoren für [mm]\IF_{2;3}[/mm] linear abhängig waren, für [mm]\IF_{5}[/mm]
> allerdings nicht. Mir ist nicht klar, was ich daraus für
> alle anderen Primzahlen folgern kann. Ich denke mal, dass
> daraus zu folgern sein müsste, dass für alle Primzahlen >=
> 5 lineare Unabhängigkeit besteht, ich weiß nur absolut
> nicht warum.
Hallo,
hast Du die Matrix denn schonmal auf ZSF gebracht?
Ich bekomme [mm] \pmat{1&2&1\\0&3&1\\0&0&-2}, [/mm] und ziehe meine Schlüsse.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Wir haben die ZSF noch nicht besprochen, aber anhand der Form kann ich mir schon denken, was es ist; aber wir haben deshalb erst recht nicht besprochen, was man daraus folgern kann... daher denke ich, dass wir einen anderen Weg finden müssen, um das zu lösen.
|
|
|
| |
|
> Wir haben die ZSF noch nicht besprochen, aber anhand der
> Form kann ich mir schon denken, was es ist; aber wir haben
> deshalb erst recht nicht besprochen, was man daraus folgern
> kann... daher denke ich, dass wir einen anderen Weg finden
> müssen, um das zu lösen.
Hallo,
ohne ZSF, bzw. ohne sie zu erwähnen:
um die Frage nach der linearen Unabhängigkeit zu klären, ist ja zu klären, ob das Gleichungssystem
$ [mm] a\vektor{[0] \\ [1] \\ [6]} +b\vektor{[3] \\ [2] \\ [3]} +c\vektor{[1] \\ [1] \\ [1]} [/mm] $ [mm] =\vektor{[0] \\ [0] \\ [0]} [/mm]
nur die Lösung a=b=c=0 hat.
Aus $ [mm] a\vektor{[0] \\ [1] \\ [6]} +b\vektor{[3] \\ [2] \\ [3]} +c\vektor{[1] \\ [1] \\ [1]} [/mm] $ [mm] =\vektor{[0] \\ [0] \\ [0]} [/mm] erhalte ich nach kleinen Umformungen
a+2b+c=0
3b+c=0
-2c=0
Jetzt verwende Eigenschaften von [mm] \IF_p:
[/mm]
für Primzahlen p die größer als 3 sind, sind 2 und 3 von 0 verschieden, also invertierbar.
Durch Multiplikation mit dem Inversen von 2 ergibt sich:
c=0
und damit
3b=0
a+2b=0.
Den Rest bekommst Du nun auch hin.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
